题目内容
对勾函数f（x）=ax+
，（a＞0，b＞0）是一种常见的基本初等函数，为了研究对勾函数f（x）=x+
的一些性质，例如单调性，奇偶性，最值等性质．首先通过列表法，列举了函数f（x）=x+
在（0，+∞）上部分自变量与函数值的对应值表，如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（Ⅰ）函数f（x）=x+
，（x＞0）在区间（0，2）上递减；函数f（x）=x+
，（x＞0）在区间 上递增．当x= 时，y最小= ．
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x+
（x＞0）在区间（0，2）递减．
（Ⅲ）思考：函数f（x）=x+
（x＜0）时，有最值吗？是最大值还是最小值？（注意：第（Ⅲ）问不必说明理由，直接写答案即可）
| b |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 4.8 | 7.57 | … |
（Ⅰ）函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
（Ⅲ）思考：函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）根据图表即可得到结论，
（Ⅱ）利用函数单调性的定义即可证明：函数f（x）=x+
（x＞0）在区间（0，2）递减．
（Ⅲ）根据基本不等式的性质即可得到结论．
（Ⅱ）利用函数单调性的定义即可证明：函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
（Ⅲ）根据基本不等式的性质即可得到结论．
解答：
解：（Ⅰ）由图表中数据可知函数f（x）=x+
，（x＞0）在区间（4，+∞）上递增．当x=2时，y最小=4．
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x+
（x＞0）在区间（0，2）递减．
设0＜x1＜x2＜2，则f（x1）-f（x2）=x1+
-x2-
=（x1-x2）•
，
∵0＜x1＜x2＜2，
∴0＜x1x2＜4，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•
＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）=x+
（x＞0）在区间（0，2）递减．
（Ⅲ）∵f（x）=x+
，
∴f（-x）=-x-
=-（x+
）=-f（x），
即函数f（x）是奇函数，
根据函数奇偶性的性质可知，当x＜0时，函数有最大值，为f（-2）=-f（2）=-4．
| 4 |
| x |
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
设0＜x1＜x2＜2，则f（x1）-f（x2）=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| x1x2-4 |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2＜2，
∴0＜x1x2＜4，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•
| x1x2-4 |
| x1x2 |
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
（Ⅲ）∵f（x）=x+
| 4 |
| x |
∴f（-x）=-x-
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
即函数f（x）是奇函数，
根据函数奇偶性的性质可知，当x＜0时，函数有最大值，为f（-2）=-f（2）=-4．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，要求正确理解函数的性质．
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