Question

设10，a₂，…，a_n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．
（Ⅰ）若d=-

1

3

，且该数列前n项和S_n最大，求n的值；
（Ⅱ）若n=4，且将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求d的值；
（Ⅲ）若该数列中有一项是10+

10

，则数列10，a₂，…，a_n中是否存在不同三项（按原来的顺序）为等比数列？请说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）求出数列的通项，若S_n取最大，则只需

an≥0 an+1≤0

，即可求n的值；
（Ⅱ）当n=4时，该数列的前4项可设为10、10+d、10+2d、10+3d，分类讨论，即可求d的值；
（Ⅲ）设ak=10+

10

，即10+（k-1）d=10+

10

，可得（k-1）d=

10

，再利用反证法，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a1=10，d=-

1

3

，
∴an=10+(n-1)•(-

1

3

)=-

1

3

n+

31

3

．
若S_n取最大，则只需

an≥0 an+1≤0

，即

- 1 3 n+ 31 3 ≥0 - 1 3 (n+1)+ 31 3 ≤0

，解得30≤n≤31．
∵n∈N^*，∴当S_n取最大时n的值分别是30或31．
（Ⅱ）当n=4时，该数列的前4项可设为10、10+d、10+2d、10+3d．
若删去第一项10，则由题意得（10+2d）²=（10+d）（10+3d），解得d=0，不符合题意．（5分）
若删去第二项10+d，则由题意得10（10+3d）=（10+2d）²解得d=-

5

2

，符合题意．（6分）
若删去第三项10+2d，则由题意得10（10+3d）=（10+d）²解得d=10，符合题意．（7分）
若删去第四项10+3d，则由题意得10（10+2d）=（10+d）²解得d=0，不符合题意．（8分）
综上所述，d的值为-

5

2

或10．…（9分）
（III）设ak=10+

10

，即10+（k-1）d=10+

10

，
∴（k-1）d=

10

，
∵d≠0，∴d＞0，k≥2（k≤n），
设该数列存在不同的三项a_p，a_q，a_r（p＜q＜r），成等比数列，则a_q²=a_pa_r，
即[10+（q-1）d]²=[10+（p-1）d][10+（r-1）d]，
∵（k-1）d=

10

，
∴

10

（k-1）（2q-p-r）=pr-p-r+2q-q²=0，
∴p+r=2q，
将r=2q-p代入pr-p-r+2q-q²=0，得p=q，这与p＜q矛盾，
∴该数列不存在不同的三项为等比数列．

点评：本题考查数列的应用，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．