Question

已知tanα=

3

4

，cos（α+β）=-

7 2

10

，且α∈（0，

π

2

），β∈（-

π

2

，

π

2

），
（1）求

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

的值； 
（2）求β的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据二倍角公式化简，然后，分子分母同除以cosα，从而转化成用tanα表示的式子，然后，代入求值即可；
（2）先求解sin（α+β）的值，然后，求tan（α+β）的值，结合tanβ=tan[（α+β）-α]，从而，确定待求的β的值．

解答： 解：（1）

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-sinα

sinα+cosα

=

1-tanα

1+tanα

=

1- 3 4

1+ 3 4

=

1

7

，
∴

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

的值为

1

7

；
（2）∵α∈（0，

π

2

），β∈（-

π

2

，

π

2

），
∴（α+β）∈（-

π

2

，π），
又∵cos（α+β）=-

7 2

10

＜0，
∴（α+β）∈（

π

2

，π），
∴sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

1-(- 7 2 10 )2

=

2

10

，
∴tan（α+β）=

sin(α+β)

cos(α+β)

=

2 10

-7 2 10

=-

1

7

，
∵tanβ=tan[（α+β）-α]
=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

- 1 7 - 3 4

1-(- 1 7 )× 3 4

=-

25

31

，
∴β=-arctan

25

31

．

点评：本题综合考查了两角和与差的正切公式，角的灵活拆分等知识，属于中档题．