Question

已知函数f（x）=x²-2mx+m²-m，g（x）=x²-（4m+1）x+4m²+m，h（x）=4x²-（12m+4）x+9m²+8m+12，令集合M={x|f（x）×g（x）×h（x）=0}，且M为非空集合，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：集合的表示法,二次函数的性质

专题：集合

分析：若集合M={x|f（x）×g（x）×h（x）=0}≠∅，故f（x），g（x），h（x）至少有一个函数存在零点，先求出f（x），g（x），h（x）均不存在零点的m的取值，进而可得答案．

解答： 解：∵集合M={x|f（x）×g（x）×h（x）=0}≠∅，
故f（x），g（x），h（x）至少有一个函数存在零点，
令f（x），g（x），h（x）均不存在零点，则：

4m2-4(m2-m)＜0 (4m+1)2-4(4m2+m)＜0 (12m+4)2-16(9m2+8m+12)＜0

，
即

m＜0 4m+1＜0 -2m-11＜0

，
解得：m∈（-

11

2

，-

1

4

），
故f（x），g（x），h（x）至少有一个函数存在零点时，
m∈（-∞，-

11

2

]∪[-

1

4

，+∞），

点评：本题考查的知识点是集合的表示法，函数零点的存在性及判定，难度中档．