Question

4．各项均为正数的等比数列{a_n}的前项和S_n，若S_n+S_n+2≤2S_n+1，则公比q的取值范围为（0，1]．

Answer 1

分析 当q=1时，$\frac{{S}_{n}+{S}_{n+2}}{2}$=（n+1）a₁=S_n+1，不等式成立；当q＞1时，（q-1）²≤0，不等式无解，当q＜1时，（q-1）²≥0，解得q＜1．由此能求出公比q的取值范围．

解答 解：∵各项均为正数的等比数列{a_n}的前项和S_n，S_n+S_n+2≤2S_n+1，
∴当q=1时，$\frac{{S}_{n}+{S}_{n+2}}{2}$=（n+1）a₁=S_n+1，不等式成立，
当q≠1时，$\frac{{S}_{n}+{S}_{n+2}}{2}≤{S}_{n+1}$，
∴$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}}{2}$≤$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$，
当q＞1时，整理，得（q-1）²≤0，不等式无解，
当q＜1时，整理，得（q-1）²≥0，解得q＜1．
∴公比q的取值范围为（0，1]．
故答案为：（0，1]．

点评 本题考查等比数列的公比的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．