Question

19．已知sinα=$\frac{2}{3}$，cosβ=-$\frac{3}{4}$，且α、β∈（$\frac{π}{2}$，π），判断α-β是第几象限角？

Answer 1

分析 由条件求得α-β∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$ ），再根据sin（α-β）＜0，求得α-β是第几象限角．

解答 解：∵sinα=$\frac{2}{3}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），cosβ=-$\frac{3}{4}$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ），且α、β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$）、β∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$ ），
∴α-β∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$ ）．
再根据cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
可得sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{2}{3}•（-\frac{3}{4}）$-（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）•$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{-6+\sqrt{35}}{12}$＜0，
可得α-β∈（-$\frac{π}{12}$，0），故α-β为第四象限角．

点评 本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．