Question

8．在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为$\sqrt{2}$的等边三角形，AB=2，O是AB中点，E是BC中点．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值的大小；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在一点F，使得B-OF-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$？若存在，指出点F在PB上的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，PO，△ABC中，O为AB中点，推导出OC⊥AB，且OC=1，PO⊥AB，且PO=1，从而PO⊥OC，进而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为原点，以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OP}$方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PAC所成角的正弦值．
（Ⅲ）设在棱PB上存在点F，设$\overrightarrow{BF}$=$λ\overrightarrow{BP}$=λ（-1，0，-1），求出平面EOF的一个法向量和面BOF的一个法向量，利用向量法能求出存在点F且当F在棱PB上靠近点B的三等分点处，满足题意．

解答 证明：（Ⅰ）连接OC，PO，△ABC中，O为AB中点，
解得OC⊥AB且OC=1．
同理可得：PO⊥AB，且PO=1，
又∵$PC=\sqrt{2}$，∴∠POC=90°，
∴PO⊥OC，又∵AB∩OC=C，∴PO⊥平面ABC，
又∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）以O为原点，以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OP}$方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
得B（1，0，0），P（0，0，1），A（-1，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PA}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
设平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
设直线PB与面PAC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线PB与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅲ）设在棱PB上存在点F，设$\overrightarrow{BF}$=$λ\overrightarrow{BP}$=λ（-1，0，-1），
由题意得$\overrightarrow{OE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BF}$=（1-λ，0，λ），
设平面EOF的一个法向量$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{OF}=（1-λ）x+λz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow p=（1，1，1-\frac{1}{λ}）$，
∵OC⊥平面BOF，
∴设面BOF的一个法向量为$\overrightarrow{q}$=（0，1，0）．
设面BOF与面EOF所成二面角为θ，
∵B-OF-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2+（1-\frac{1}{λ}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
解得：$λ=\frac{1}{3}$或λ=-1（舍），∴$λ=\frac{1}{3}$．
所以存在点F且当F在棱PB上靠近点B的三等分点处，满足题意．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考点满足条件的点是否存在的判断与求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．