Question

18．如图1，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是：s=3cos（$\sqrt{\frac{g}{l}}$t+$\frac{π}{3}$），t∈[0，+∞），（其中g≈1000cm/s²）；

（1）当t=0时，小球离开平衡位置的位移s是多少cm？
（2）若l=40cm，小球每1s能往复摆动多少次？要使小球摆动的周期是1s，则线的长度应该调整为多少cm？
（3）某同学在观察小球摆动时，用照相机随机记录了小球的位置，他共拍摄了300张照片，并且想估算出大约有多少张照片满足小球离开平衡位置的距离（位移的绝对值）比t=0时小球离开平衡位置的距离小．为了解决这个问题，他通过分析，将上述函数化简为f（x）=3cos（x+$\frac{π}{3}$），x∈[0，2π）．请帮他在图2中画出y=f（x）的图象并解决上述问题．

Answer 1

分析 （1）利用函数解析式求解即可．
（2）求出函数的周期，然后求解即可．
（3）画出函数的图象，利用已知条件通过概率转化求解即可．

解答 解：（1）小球摆动时，离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是：
s=3cos（$\sqrt{\frac{g}{l}}$t+$\frac{π}{3}$），t∈[0，+∞），当t=0时，s=3cos$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$，
即小球离开平衡位置的位移s是$\frac{3}{2}cm$；
（2）周期$T=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{l}}}$=2$π\sqrt{\frac{l}{g}}$=$2π\sqrt{\frac{40}{1000}}$=$\frac{2π}{5}$，所以频率$f=\frac{1}{T}=\frac{5}{2π}$，即小球每1s能往复摆动$\frac{5}{2π}$次．
要使小球摆动的周期是1s，即$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}=2π\sqrt{\frac{l}{1000}}=1$，
解得$l=\frac{250}{π^2}$，即线的长度应该调整为$\frac{250}{π^2}cm$．
（3）$f（x）=3cos（x+\frac{π}{3}），x∈[0，2π）$的图象，

由题意可知，设事件A=“小球离开平衡位置的距离（位移的绝对值）比t=0时小球离开平衡位置的距离小”，只需$|3cos（x+\frac{π}{3}）|≤\frac{3}{2}$，解得$0≤x≤\frac{π}{3}$或$π≤x≤\frac{4π}{3}$，由几何概型可知，$P（A）=\frac{{（\frac{π}{3}-0）+（\frac{4π}{3}-π）}}{2π}=\frac{1}{3}$，所以估计符合条件的大约有$300×\frac{1}{3}=100$张．

点评 本题考查三角函数的化简求值，三角函数的图象的应用，概率的求法，考查计算能力．