Question

13．向量$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1}），\overrightarrow n=（{cos\frac{x}{4}，{{cos}^2}\frac{x}{4}}）$，记$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）若f（x）=1，求$cos（{x+\frac{π}{3}}）$的值；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，利用两角和的正弦公式和三角形内角和定理可得B=$\frac{π}{3}$，再利用△ABC是锐角三角形求出A的范围，根据正弦函数的性质即可求出

解答 解：（1）记$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由f（x）=1，得sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（x+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，又sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
又B为锐角，∴B=$\frac{π}{3}$，
则A+C=$\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{2}{3}$π-C，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∵f（2A）=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
∴f（2A）的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题综合考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦定理、两角和的正弦公式和三角形内角和定理、锐角三角形的意义、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了综合解决问题的能力，属于中档题．