Question

3．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+ax-5$在[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-3，1）
• B． （-3，0）
• C． （-3，1）
• D． （-3，1]

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：对函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+ax-5$求导可得，f′（x）=x²-2x+a
函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+ax-5$在[-1，2]上不单调，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）＞0}\\{f′（1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）＜0}\\{f′（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3+a＞0}\\{-1+a＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1+a＜0}\\{a＞0}\end{array}\right.$解得：-3＜a＜1，
故选：C．

点评 本题主要考查了函数的单调性与函数导数的关系的应用，是一道中档题．