Question

设函数f（x）=（x²-8x+c₁）（x²-8x+c₂）（x²-8x+c₃）（x²-8x+c₄），集合M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₇}⊆N^*，设c₁≥c₂≥c₃≥c₄，则c₁-c₄=

 

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Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中集合M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₇}⊆N^*，结合函数f（x）的解析式，及韦达定理，我们易求出c₁及c₄的值，进而得到答案．

解答： 解：由根与系数的关系知x_i+y_i=8，x_i•y_i=c_i，
这里x_i，y_i为方程x²-8x+c_i=0之根，i=1，…，4．
又∵M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₇}⊆N^*，
由集合性质可得（x_i，y_i）取（1，7），（2，6），（3，4），（4，4），
又c₁≥c₂≥c₃≥c₄，
故c₁=16，c₄=7
∴c₁-c₄=9
故答案为：9

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，其中根据韦达定理，求出c₁及c₄的值，是解答本题的关键．