Question

对于任意的实数a和b，定义一种新的运算“□”：a□b=

a，a-b≤0 b，a-b＞0

，设函数f（x）=（x²-3x）□（x+12）（x∈R），若函数y=f（x）-k的图象与横轴只有一个公共点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，化简f（x）=（x²-3x）□（x+12）=

x2-3x，x∈[-2，6] x+12，x＞6或x＜-2

，作出其函数的图象，函数y=f（x）-k的图象与横轴只有一个公共点可化为f（x）与y=k的图象有且只有一个交点，从而求出实数k的取值范围．

解答： 解：令x²-3x-（x+12）＞0，
则x＞6或x＜-2，
则f（x）=（x²-3x）□（x+12）
=

x2-3x，x∈[-2，6] x+12，x＞6或x＜-2

，
作出其图象如下图：

函数y=f（x）-k的图象与横轴只有一个公共点可化为
f（x）与y=k的图象有且只有一个交点，
又∵f（-2）=-2+12=10，
f（

3

2

）=-

9

4

，
则实数k的取值范围是（-∞，-

9

4

）∪（10，+∞）；
故答案为：（-∞，-

9

4

）∪（10，+∞）．

点评：本题考查了学生对新知识的接受能力及作图能力，转化能力等，同时考查了数形结合的思想，属于难题．