Question

7．在平面直角坐标系中，点P（1，2cos²A）和Q（sin²A，-1）分别在角α、角β的终边上，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{4}$，已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）求tan（α+β）；
（2）若a=3，求BC边上的高的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量的运算得到sin²A-2cos²A=$\frac{1}{4}$，再根据同角的三角函数的关系，即可求出cos²A=$\frac{1}{4}$，sin²A=$\frac{3}{4}$，得到P，Q的坐标，再根据任意三角函数的定义，求出tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{4}{3}$，利用正切的和差公式计算即可；
（2）由（1）求出A的大小，由余弦定理和基本不等式得到bc≤9，设高为h，根据三角形的面积公式得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$ah，继而得到h的取值范围，问题得以解决．

解答 解：（1）点P（1，2cos²A）和Q（sin²A，-1）分别在角α、角β的终边上，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{4}$，
∴sin²A-2cos²A=$\frac{1}{4}$，
即cos²A=$\frac{1}{4}$，sin²A=$\frac{3}{4}$
∴P（1，$\frac{1}{2}$）和Q（$\frac{3}{4}$，-1），
∴tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{4}{3}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{4}{3}}{1+\frac{1}{2}×\frac{4}{3}}$=$-\frac{1}{2}$
（2）由（1）知∵△ABC为锐角三角形，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理，可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-bc=9，
∴2bc-bc≤9，
即bc≤9，
设BC上的高为h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$ah，
∴h=$\frac{bc}{a}$•sinA≤$\frac{9}{3}•$sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$
故BC边上的高的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，向量的数量积德运算，任意三角函数的定义，三角函数的化简和求值，以及两角和差的正切公式，基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题．