Question

6．某厂采用新技术改造后生产甲产品的产量x（吨）与相应的生产成本y（万元）的几组对照数据．

x	3	4	5	6
y	3	3.5	4.5	5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（3）已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元？
（参考数据：$\sum_{i=1}^4{x_i^2=86}$$\sum_{i=1}^4{y_i^2=66}$.5$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=75}$.5，$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$）

Answer 1

分析 （1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（3）根据上一问所求的线性回归方程，把x=50代入线性回归方程，即可预测生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少．

解答 解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图            …（2分）
（2）由已知$\sum_{i=1}^4{x_i^2=86}$，$\sum_{i=1}^4{y_i^2=66}.5$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=75}.5$，$\overline x=4.5$，$\overline y=4$，
所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
$\widehat{b}$=$\frac{75.5-4×4×4.5}{{86-4×{{4.5}^2}}}=0.7$…（5分）
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=4-0.7×4.5=0.85                     …（7分）
因此，所求的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.7x+0.85             …（8分）
（3）由（2）的回归方程及技改前生产50吨甲产品的生产成本，得降低的生产成本为：
40-（0.7×50+0.85）=4.15（万元）．                 …（12分）

点评 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．