Question

5．已知圆的半径为$\sqrt{10}$，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4$\sqrt{2}$．
（1）求圆的方程．
（2）对于（1）中圆心在第一象限的圆C，从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设圆心（a，2a），由弦长公式求得弦心距d=$\sqrt{2}$，由点到直线的距离公式d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|a|，由此能求出圆的方程．
（2）由已知切线PM与半径CM垂直，从而得到动点P的轨迹是直线2x+4y+5=0．|PM|的最小值就是|PO|的最小值，|PO|的最小值为原点O到直线2x+4y+5=0的距离，由此能求出P点坐标．

解答 解：（1）∵圆心在直线y=2x上，∴设圆心（a，2a），
∵圆的半径为$\sqrt{10}$，圆被直线x-y=0截得的弦长为4$\sqrt{2}$，
∴由弦长公式求得弦心距d=$\sqrt{10-8}$=$\sqrt{2}$，
再由点到直线的距离公式得 d=$\frac{|a-2a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|a|=$\sqrt{2}$，
解得a=±2，∴圆心坐标为（2，4），或（-2，-4），又半径为$\sqrt{10}$，
∴所求的圆的方程为：（x-2）²+（y-4）²=10或（x+2）²+（y+4）²=10．
（2）圆心在第一象限的圆C为（x-2）²+（y-4）²=10，
∵从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，
∴切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，∴|PO|²=|PC|²-|CM|²，
∴（x₁-2）²+（y₁-4）²-10=x₁²+y₁²．
∴2x₁+4y₁+5=0．
∴动点P的轨迹是直线2x+4y+5=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x+4y+5=0的距离d=$\frac{|5|}{\sqrt{4+16}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=\frac{5}{4}}\\{2{x}_{1}+4{y}_{1}+5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，
故所求点P的坐标为P（-$\frac{1}{2}$，-1）．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．