Question

求使f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）是奇函数，且在[0，

π

4

]上是减函数的所有θ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的奇偶性

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0，求得θ，再对f（x）化简，注意运用两角和的正弦公式，讨论k为奇数和偶数，运用正弦函数的单调性，即可判断．

解答： 解：f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）是奇函数，
则f（0）=0，即有sinθ+

3

cosθ=0，
则tanθ=-

3

，解得，θ=kπ-

π

3

，k为整数，
则f（x）=2[

1

2

sin（2x+θ）+

3

2

cos（2x+θ）]=2sin（2x+θ+

π

3

）
=2sin（2x+kπ），
若k为偶数，则f（x）=2sin2x，在[0，

π

4

]上是增函数，不满足条件；
若k为奇数，则f（x）=-2sin2x，在[0，

π

4

]上是减函数，满足条件．
故满足条件的所有的θ=（2n+1）π-

π

3

=2nπ+

2π

3

，n∈Z．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查三角函数的化简，及诱导公式和两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．