Question

设函数f（x）=-

3

sinxcos（π-x）+co²x+m，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]时，f（x）_min=2，求函数f（x）的最大值，并指出x取何值时，f（x）取得最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先对三角函数进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步根据函数的定义域求出函数的值域，利用最小值确定m的值，最后求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=-

3

sinxcos（π-x）+co²x+m=

3

sinxcosx+

1+cos2x

2

+m
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

+m=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m
所以：函数的最小正周期为T=

2π

2

=π，
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
所以函数的单调递增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
所以：f（x）_min=-

1

2

+

1

2

+m=m=2
所以解得：m=2．
当x=

π

6

时，f(x)max=1+

1

2

+2=

7

2

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期和单调区间的求法，函数的最值的应用．属于基础题型．