Question

设F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点，直线l方程为x=-

a2

c

，直线l与x轴交于P点，M，N分别为椭圆的左右顶点，已知丨MN丨=2

2

，且丨PM丨=

2

丨MF丨．
（1）求椭圆标准方程．
（2）过点P的直线交椭圆与A，B两点，求△ABF面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得|MN|=2a=2

2

，|

2

-

2

c

|=

2

|

2

-c|，c＜a=

2

，由此能求出椭圆标准方程．
（2）设PA：y=k（x+2），代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线的距离公式能求出S_△ABF=

1

2

|AB|h=

2k2(1-2k2)

1+2k2

，设t=2k²，则S=

t(1-t)

1+t

，0≤t≤1，由此利用导数性质能求出t=

1

3

时，S取最大值

2

4

．

解答： 解：（1）由已知得|MN|=2a=2

2

，∴a=

2

，
∵直线l方程为x=-

a2

c

，
∴左准线与x轴交于点P（-

2

c

，0），F（-c，0），M（-

2

，0），
由丨PM丨=

2

丨MF丨，得|

2

-

2

c

|=

2

|

2

-c|，c＜a=

2

，
∴

2

-c=c（

2

-c），解得c=1，b=1，
∴椭圆标准方程是

x2

2

+y2=1．
（2）设PA：y=k（x+2），代入

x2

2

+y2=1，
得x²+2k²（x²+4x+4）=2，
（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-4（4k²-2）=8（1-2k²），
|AB|=

(1+k2)[8(1-2k2)]

1+2k2

，
点F到AB的距离h=

|k|

1+k2

，
∴S_△ABF=

1

2

|AB|h=

2k2(1-2k2)

1+2k2

，
设t=2k²，则S=

t(1-t)

1+t

，0≤t≤1，
S′=

2 t-t2 (1-2t)(1+t)- t-t2

(1+t)2

=

1-t-2t2-2(t-t2)

2(1+t)2 t-t2

=

1-3t

2(1+t)2 t-t2

，
∴t=

1

3

时，S取最大值

2

4

．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查△ABF面积的最大值的求法，解题时要注意根的判别式、弦长公式、点到直线的距离公式、导数性质的合理运用．