题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC-ccos（A+C）=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若
BA
•
BC
=2，且a=
6
，求b的值．
考点：平面向量数量积的运算,正弦定理
专题：解三角形,平面向量及应用
分析：（1）利用三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理即可得出；
（2）利用数量积运算、余弦定理即可得出．
解答： 解：（1）在△ABC中，cos（A+C）=cos（π-B）=-cosB，
∴bcosC-ccos（A+C）=3acosB可化为bcosC-ccosB=3acosB．
由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin(B+C)=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，

故cosB=
1
3
．
（2）由
BA
•
BC
=2，可得accosB=2，
即ac=6，
又a=
6
，可得c=
6
.
由b2=a2+c2-2accosB，

可得b=2
2
．
点评：本题综合考查了三角形内角和定理、诱导公式、正弦余弦定理、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．
（Ⅰ）求证：{lgan}是等差数列；
（Ⅱ）设Tn是数列{
3
(lgan)(lgan+1)
}的前n项和，求Tn；
（Ⅲ）求使Tn＞
1
4
（m2-5m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．
根据2012年初发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级，其中：0到50为一级优，51到100为二级良，101到150为三级轻度污染，151到200为四级中度污染，201到300为五级重度污染，300以上为六级严重污染．自2013年11月中旬北方启动集中供暖后北京市雾霾天气明显增多，有人质疑集中供暖加重了环境污染，以下数据是北京市环保局随机抽取的供暖前15天和供暖后15天的AQI数据：
AQI （0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300] （300，350]
供暖前 2 5 4 2 0 2 0
供暖后 0 6 4 0 3 1 1
（1）通过上述数据计算供暖后空气质量指数为五级重度污染的概率，由此预测2014年1月份的31天中出现五级重度污染的天数；（保留到整数位）
（2）分别求出样本数据中供暖前和供暖后AQI的平均值，由此你能得出什么结论．
已知a，b，c∈R+，且
a
1+a
+
b
1+b
+
c
1+c
=1，求证：a+b+c≥
3
2
．
已知椭圆C：
x2
20
+
y2
15
=1，
（1）若P（x，y）是C上一点，求x+5y的最小值；
（2）证明椭圆C的面积S=10
3
π．
已知函数f（x）=|2x+1|-|x|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围．
现有6名学科竞赛优胜者，其中数学学科是A1，A2，物理学科是B，化学学科是C，语文学科是D1，D2，从竞优胜者中选出3名组成一个代表队，要求每个学科至多选出1名．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求代表队中没有数学优胜者的概率；
（Ⅲ）求A1和D1不全波选中的概率．
函数f（x）=lgx-x2+2x+5的零点的个数是
 
．
一个四面体共一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为
2
、
3
、2，且四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的体积为
 
．

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