Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求证：{lga_n}是等差数列；
（Ⅱ）设T_n是数列{

3

(lgan)(lgan+1)

}的前n项和，求T_n；
（Ⅲ）求使T_n＞

1

4

（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立的整数m的取值集合．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）根据等差数列的定义即可证明{lga_n}是等差数列；
（Ⅱ）求出{

3

(lgan)(lgan+1)

}的通项公式，利用裂项法即可求T_n；
（Ⅲ）直接解不等式即可得到结论．

解答： 解：（I）∵a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
∴当n=1时，a₂=9a₁+10=100，
故

a2

a1

=10，
当n≥1时，a_n+1=9S_n+10  ①，
a_n+2=9S_n+1+10  ②，
两式相减得a_n+2-a_n+1=9a_n+1，
即a_n+2=10a_n+1，
即

an+2

an+1

=10，
即{a_n}是首项a₁=10，公比q=10的等比数列，
则数列{a_n}的通项公式an=10•10n-1=10n；
则lga_n=lg10ⁿ=n，
则lga_n-lga_n-1=n-（n-1）=1，为常数，
即{lga_n}是等差数列；
（Ⅱ）∵lga_n=n，则

3

(lgan)(lgan+1)

=

3

n(n+1)

=3（

1

n

-

1

n+1

），
则T_n=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=3（1-

1

n+1

）=3-

3

n+1

，
（Ⅲ）∵T_n=3-

3

n+1

≥T₁=

3

2

，
∴要使T_n＞

1

4

（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，
则

3

2

＞

1

4

（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，
解得-1＜m＜6，
故整数m的取值集合{0，1，2，3，4，5}．

点评：本题主要考查等差数列的判断，利用裂项法求和，考查学生的运算能力．