Question

已知关于x的二次方程x²+2mx-m+2=0（m∈R）．
（1）若方程有两个大于1的实根，求m的取值范围；
（2）若不等式x²+2mx-m+2＞0对-1≤x≤1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得不等式组，解出即可；（2）通过讨论m的范围，从而得出y的最小值，从而得出m的范围．

解答： 解：（1）令f（x）=x²+2mx-m+2，已知f（x）为开口向上的二次函数，
要使得x²+2mx-m+2=0有两个大于1的实根，
则应满足

△≥0 f(1)＞0 对称轴x=-m＞1

⇒

m≥1或m≤-2 m＞-3 m＜-1

⇒-3＜m≤-2；
（2）令y=x²+2mx-m+2，要使得x²+2mx-m+2＞0，对于x∈[-1，1]恒成立，
则⇒y_min＞0，其中x∈[-1，1]，
又∵y=（x+m）²-m+2-m²，
①当-m∈[-1，1]，即-1≤m≤1，y_min=-m+2-m²＞0⇒-2＜m＜1，
从而有-1≤m＜1，
②当-m＞1时，即m＜-1时，
则当x=1时，y_min=1+2m-m+2＞0⇒m＞-3，
从而有-3＜m＜-1，
③当-m＜-1时，即m＞1时，
y_min=1-2m-m+2＞0⇒m＜1，
从而有m∈∅，
综上得：实数m的范围是：-3＜m＜1．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．