Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PCD⊥平面PBC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）充分利用四棱锥的特殊性质，只要MN平行与平面PAD内的一条直线即可；
（2）只要证明平面PBC内的BC垂直平面PCD即可．

解答： 证明：（1）取PD得中点F，连AF、FN，
∵N是PC的中点，∴FN∥DC，FN=

1

2

DC，
又∵四边形ABCD是正方形，并且M是AB的中点，
∴AM∥DC，AM=

1

2

DC，
∴FN∥AM，并且FN=AM，
∴四边形FNMA是平行四边形，
∴MN∥FA，
又MN?平面PAD，FA?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）∵PD⊥平面ABCD，并且BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD，
又∵BC?平面PBC，
∴平面PCD⊥平面PBC．

点评：本题考查了空间线面垂直的判定和面面垂直的判定，关键是通过转化为线线的位置关系解答，属于基础题；