Question

已知函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+

1+cos2x

2

cosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜x＜π），其图象过点（

π

6

，

1

2

）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）把已知的函数解析式化简变形，然后由函数图象过点（

π

6

，

1

2

）列式求得φ值；
（Ⅱ）首先利用函数图象的平移得到函数y=g（x）的解析式，然后根据x∈[0，

π

4

]求得相位的范围，则g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数图象过点（

π

6

，

1

2

），
∴有

1

2

=

1

2

sin2×

π

6

sinφ+cos2

π

6

cosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），
有1=

3

2

sinφ+

3

2

cosφ-cosφ=sin(φ+

π

6

)，
∴φ+

π

6

=

π

2

，解得φ=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知φ=

π

3

，
∴f（x）=

3

4

sin2x+

1

2

×

1+cos2x

2

-

1

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)，
∴g（x）=

1

2

sin(4x+

π

6

)，
∵x∈[0，

π

4

]，
∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴当4x+

π

6

=

π

2

时，g（x）取最大值

1

2

；
当4x+

π

6

=

7π

6

时，g（x）取最小值-

1

4

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，关键是φ的求解，考查了三角函数值域的求法，是中档题．