Question

15．已知函数f（x）=x|x|-mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，-2）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 f（x）=x|x|-mx+1得x|x|+1=mx利用参数分离法得m=|x|+$\frac{1}{x}$，构造函数g（x）=|x|+$\frac{1}{x}$，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．

解答 解：由f（x）=x|x|-mx+1得x|x|+1=mx，
当x=0时，方程不成立，
即x≠0，
则方程等价为m=|x|+$\frac{1}{x}$
设g（x）=|x|+$\frac{1}{x}$，
当x＜0时，g（x）=-x+$\frac{1}{x}$为减函数，
当x＞0时，g（x）=x+$\frac{1}{x}$，
则g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+∞）上为增函数，
即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值g（1）=1+1=2，
作出函数g（x）的图象如图：
要使f（x）=x|x|-mx+1有三个零点，
则等价为m=|x|+$\frac{1}{x}$有三个不同的根，
即y=m与g（x）有三个不同的交点，则由图象知m＞2，
故实数m的取值范围是（2，+∞），
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法以及数形结合是解决本题的关键．