Question

20．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，若函数y=x（f（x）-2）+b有零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-∞，1]
• C． （2，3）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 利用换元法t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，求出是的解析式，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用参数分离法，结合导数的应用进行求解即可．

解答 解：∵设定义域为（0，+∞）上的函数f（x）是单调函数，
∴设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，
则函数条件于f（t）=1，
令x=t，
则f（t）=lnt+t=1，
则t=1，
即函数f（x）=lnx+1，
若y=x（f（x）-2）+b有零点，
则等价为y=x（f（x）-2）+b=0有解，
即f（x）-2=-$\frac{b}{x}$，
即lnx-1=-$\frac{b}{x}$，
即b=x-xlnx，
设g（x）=x-xlnx，x＞0，
则g′（x）=1-（lnx+x•$\frac{1}{x}$）=1-lnx-1=-lnx，
由g′（x）＞0得-lnx＞0，即lnx＜0，则0＜x＜1，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得-lnx＜0，即lnx＞0，则x＞1，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=1-1×ln1=1，
则g（x）≤1，
要使b=x-xlnx有根，
则b≤1，
则实数b的取值范围是（-∞，1]，
故选：B

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法先求出函数的解析式，利用参数分离法，转化为两个函数的交点问题，构造函数，利用导数研究函数 的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．