Question

6．棱长为1的正四面体的外接球的半径为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 正四面体A-BCD的棱长为1，过B作BE⊥CD，交CD于E，A作AF⊥平面BCD，交BE于F，连结AE，设球心为O，则O在AF上，连结BO，求出BF，EF，AF的长，设球半径为R，则BO=AO=R，由此利用勾股定理能求出这个正四面体外接球的半径．

解答 解：已知正四面体A-BCD的棱长为1，过B作BE⊥CD，交CD于E，
A作AF⊥平面BCD，交BE于F，连结AE，设球心为O，则O在AF上，连结BO，
BE=AE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BF=$\frac{2}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{1}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
$AF=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
设球半径为R，则BO=AO=R，
∴R²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{3}-R$）²，
解得R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查正四面体的外接球的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正四面体的结构特征的合理运用．