Question

3．已知y=f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）-a²-4a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，代入f（5）=3，f（6）=2，以及对称轴为x=5，解方程可得a，b，c，再由奇函数的定义可得[-6，-3]的函数式，再由一次函数的解析式，解方程即可得到所求；
（2）运用二次函数的最值的求法和一次函数的单调性，可得f（x）的值域为[-3，3]，由题意可得a²+4a+3≤0，解不等式，即可得到所求范围．

解答 解：（1）当x∈[3，6]时，f（x）为二次函数，
且f（x）≤f（5），f（6）=2，
设f（x）=ax²+bx+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{b}{2a}=5}\\{25a+5b+c=3}\\{36a+6b+c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=10}\\{c=-22}\end{array}\right.$；
∴f（x）=-x²+10x-22，∴f（3）=-1，
又∵f（x）为奇函数，且在[0，3]上的一次函数，f（3）=-1，
∴$当x∈[{-3，3}]时，f（x）=-\frac{x}{3}$，当x∈[-6，-3]时，-x∈[3，6]，
∴f（-x）=-x²-10x-22，
∵f（x）为[-6，6]上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x²+10x+22．
综上所述，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+10x+22，-6≤x≤-3}\\{-\frac{1}{3}x，-3＜x＜3}\\{-{x}^{2}+10x-22，3≤x≤6}\end{array}\right.$；
（2）当-6≤x≤-3时，f（x）=（x+5）²-3，
当x=-5时，f（x）的最小值为-3；
x=-3时，f（-3）=1，即有f（x）∈[-3，1]；
当-3＜x＜3时，f（x）∈（-1，1）；
当3≤x≤6时，f（x）=-（x-5）²+3，
f（x）∈[-1，3]．
即有y=f（x）的值域为[-3，3]，
故f（x）-a²-4a≥0恒成立，
即a²+4a+3≤0，
解得-3≤a≤-1，
综上：若f（x）-a²-4a≥0恒成立，求a的取值范围为{a|-3≤a≤-1}．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用奇函数的定义，考查不等式恒成立问题的解法，以及运算求解能力，属于中档题．