Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-a-5（x≤0）}\\{3{x}^{2}-（a+3）x+a（x＞0）}\end{array}\right.$．
（1）设a是一个小于2的确定正数，若存在实数k，使得f（x）=k有且仅有三个不相等的实根，求k的取值范围．
（2）若a∈[-2，0]，f（x）=k的三个实根分别为x₁，x₂，x₃，求证：-$\frac{1}{3}$＜x₁+x₂+x₃＜1．

Answer 1

分析 （1）题意可得x≤0时，有一个非正根，又3x²-（a+3）x+a=k有两个不等的正根，运用韦达定理和判别式大于0，即可得到所求范围；
（2）运用韦达定理和方程的根的求法，可得x₁+x₂+x₃=$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{a+5+k}{3}}$，再由k的范围和a的范围，结合换元法和二次函数的值域的求法，即可得证．

解答 解：（1）由题意可得x≤0时，有一个非正根，
即有3x²-a-5=k，即为a+5+k≥0，即k≥-a-5；
又3x²-（a+3）x+a=k有两个不等的正根，
即有△＞0，即（a+3）²-12（a-k）＞0，
且a+5＞0，a-k＞0，解得-$\frac{1}{12}$（a-3）²＜k＜a．
综上可得，-$\frac{1}{12}$（a-3）²＜k＜a；
（2）证明：由题意可得x≤0时，有一个非正根x₁，
3x²-（a+3）x+a=k有两个不等的正根x₂，x₃，
即有x₂+x₃=$\frac{a+3}{3}$，
由x₁=-$\sqrt{\frac{a+5+k}{3}}$，
即有x₁+x₂+x₃=$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{a+5+k}{3}}$，
由k＜a可得x₁+x₂+x₃＞$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$，
设$\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$=t（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t≤$\frac{\sqrt{15}}{3}$），
可得a=$\frac{3{t}^{2}-5}{2}$，可得$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{2a+5}{3}}$=$\frac{1}{6}$（3t²-6t+1）
=$\frac{1}{2}$（t-1）²-$\frac{1}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，
即有x₁+x₂+x₃＞-$\frac{1}{3}$；
又a≤0，则x₁+x₂+x₃=$\frac{a+3}{3}$-$\sqrt{\frac{a+5+k}{3}}$＜1．
则有-$\frac{1}{3}$＜x₁+x₂+x₃＜1．

点评 本题考查分段函数的运用，考查二次函数和方程的关系，注意运用韦达定理和换元法，以及二次函数的值域的求法，考查不等式的证明，属于中档题．