Question

5．已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B（A右B左）．
（1）若点M的坐标为（1，-$\frac{3}{2}$），一个切点B的横坐标为-1，求抛物线C的方程；
（2）若点M的坐标为（a，-2p）（a为常数），设直线AM，BM的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出函数y=$\frac{1}{2p}$x²的导数，求得切线的斜率和切线的方程，代入M的坐标，解方程可得p=1，进而得到抛物线的方程；
（2）设过M作抛物线2py=x²的切线的斜率为k，则过M的切线的方程为y+2p=k（x-a），与方程2py=x²联立，消去y，再由直线和抛物线相切的条件：判别式为0，以及韦达定理，即可得到结论．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=$\frac{1}{2p}$x²，得y′=$\frac{1}{p}$x，
所以在B点处的切线斜率为：k=$\frac{{x}_{2}}{p}$，
切线的方程为y-y₂=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂），
由y₂=$\frac{1}{2p}$x₂²，化简可得，x₂x-p（y+y₂）=0，
由x₂=-1，y₂=$\frac{1}{2p}$，再由点M的坐标为（1，-$\frac{3}{2}$），
可得-1-p（-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2p}$）=0，解得p=1，
即有抛物线的方程为x²=2y；
（2）设过M作抛物线2py=x²的切线的斜率为k，
则过M的切线的方程为y+2p=k（x-a），
与方程2py=x²联立，消去y，得$\frac{1}{2p}$x²-kx+ak+2p=0，
因为直线与抛物线相切，所以△=k²-4•$\frac{1}{2p}$（ak+ap）=0，
即k²-$\frac{2a}{p}$k-2a=0．由题意知，此方程两根为k₁，k₂，
∴k₁k₂=-2a（定值）．

点评 本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查运算能力，属于中档题．