Question

4．已知各项都不相等的等差数列{a_n}，满足a_2n=2a_n-3，且a${\;}_{6}^{2}$=a₁•a₂₁，{a_n}的前n项和是S_n，则数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}项中的最大值为6．

Answer 1

分析 由题意知a_2n=a₁+（2n-1）d，2a_n-3=2a₁+2（n-1）d-3，从而可得a₁=d+3，再结合a₆²=a₁•a₂₁可得等差数列{a_n}的首项为5，公差为2，则$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n（n+4）}{{2}^{n-1}}$=2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$，由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}≥\frac{{S}_{n-1}}{{2}^{n-2}}}\\{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}≥\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n}}}\end{array}\right.$，从而解得n的值，即可求得数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}项中的最大值．

解答 解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∴a_2n=a₁+（2n-1）d，
2a_n-3=2a₁+2（n-1）d-3，
∴a₁+（2n-1）d=2a₁+2（n-1）d-3，
即a₁=d+3，
∵a₆²=a₁•a₂₁，
∴（d+3+5d）²=（d+3）•（d+3+20d），
即d=0（舍去）或d=2，
故等差数列{a_n}的首项为5，公差为2，
故S_n=5n+$\frac{n（n-1）}{2}$•2=n（n+4），
故$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n（n+4）}{{2}^{n-1}}$=2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}≥\frac{{S}_{n-1}}{{2}^{n-2}}}\\{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}≥\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n}}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{n（n+2）}{{2}^{n}}≥2×\frac{（n-1）（n+1）}{{2}^{n}}}\\{2×\frac{n（n+2）}{{2}^{n}}≥2×\frac{（n+1）（n+3）}{{2}^{n+1}}}\end{array}\right.$，
解得：$\sqrt{3}$-1≤n≤$\sqrt{6}$，
故n=2，
故数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}项中的最大值为$\frac{{S}_{2}}{{2}^{2-1}}$=6，
故答案为：6．

点评 本题考查等差数列的性质的判断与应用，同时考查了最大值的求法与应用，考查计算能力，属于中档题．