Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2$\sqrt{2}$，若直线y=-$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{2}$）与椭圆交于点M，满足$\frac{1}{2}$∠MF₁F₂=∠MF₂F₁，则离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：∠MF₁F₂=$\frac{π}{3}$，∠MF₂F₁=$\frac{π}{6}$，∠F₁MF₂=90°．根据三角形的关系即可求得丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．

解答 解：如图所示，由直线y=-$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{2}$），由tanα=-$\sqrt{3}$，则α=$\frac{2π}{3}$．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则∠MF₂F₁=$\frac{π}{3}$，则不满足三角形的内角和为π，
∴∠MF₁F₂=$\frac{π}{3}$，∠MF₂F₁=$\frac{π}{6}$，∠F₁MF₂=90°．
在Rt△F₁MF₂中，由丨F₁F₂丨=2c=2$\sqrt{2}$，丨MF₁丨=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨=$\sqrt{2}$，
丨MF₂丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$丨F₁F₂丨=$\sqrt{6}$，
由丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），
∴该椭圆的离心率e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
椭圆的离心率e=$\sqrt{3}$-1，
故选B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，直线与椭圆的位置关系，考查三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．