Question

10．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f″是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一发现为条件，若给定函数g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x-\frac{5}{12}$，则g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=1008．

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）对称，即f（x）+f（1-x）=1，即可得到结论．

解答 解：函数的导数g′（x）=x²-x+2，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
故函数g（x）关于点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）对称，
∴g（x）+g（1-x）=1，
故设g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=m，
则g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+…g（$\frac{1}{2017}$）=m，
两式相加得1×2016=2m，
则m=1008，
故答案为：1008

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．