Question

20．已知曲线C₁：y=e^x与曲线C₂：y=（x+a）²．若两个曲线在交点处有相同的切线，则实数a的值为2-ln4．

Answer 1

分析 分别求出曲线C₁，曲线C₂所对的函数的导数，设两曲线的公共点坐标为（x₀，y₀），运用切线的斜率相等和切点在两曲线上，解方程，即可得到a的值．

解答 解：y=e^x的导数为y'=e^x，
y=（x+a）²的导数为y'=2（x+a），
设两曲线的公共点坐标为（x₀，y₀），
依据题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{{e^{x_0}}={{（{x_0}+a）}^2}}\\{{e^{x_0}}=2（{x_0}+a）}\end{array}}\right.$，
消${e^{x_0}}$可得${（{x_0}+a）^2}=2（{x_0}+a）≠0$，
所以x₀+a=2，
所以${e^{x_0}}=4$，即x₀=ln4，
所以a=2-ln4．
故答案为：a=2-ln4．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用切点的性质是解题的关键，属于中档题．