Question

5．定义在R上的函数f（x），如果对任意的x都有f（x+6）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+1，f（4）=309，则f（2 014）=1314．

Answer 1

分析 根据不等式的关系，利用两边夹的思想得到f（x+6）=f（x）+3，然后进行转化求解即可．

解答 解：根据对任意x恒有f（x+2）≥f（x）+1，得f（x+6）≥f（x+4）+1≥f（x+2）+1+1≥f（x）+1+1+1=f（x）+3，
由此得f（x）+3≤f（x+6）≤f（x）+3，即只能是f（x+6）=f（x）+3．
不难归纳出f（x+6k）=f（x）+3k（k为正整数），
所以f（2 014）=f（6×335+4）=f（4）+3×335=309+1 005=1314．
故答案为：1314．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据不等式的关系求出f（x+6）=f（x）+3是解决本题的关键．，综合性较强，难度较大．