Question

设函数f（x）=ax²+bx+c，其中a是正数，对于任意实数x，等式f（1-x）=f（1+x）恒成立，则当x∈R时，f（2^x）与f（3^x）的大小关系为（　　）

• A、f（3^x）＞f（2^x）
• B、f（3^x）＜f（2^x）
• C、f（3^x）≥f（2^x）
• D、f（3^x）≤f（2^x）

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性,函数单调性的性质,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）对于任意的x∈R有f（1-x）=f（1+x）可得函数关于x=1对称，由a＞0可得函数在（-∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增，而当x＞0时，3^x＞2^x＞1，当x=0时，3^x=2^x=1，当x＜0时，3^x＜2^x＜1，从而可判断

解答： 解：由函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）对于任意的x∈R有f（1-x）=f（1+x）可得函数关于x=1对称
由a＞0可得函数在（-∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增
当x＞0时，3^x＞2^x＞1，f（3^x）＞f（2^x）
当x=0时，3^x=2^x=1，f（3^x）=f（2^x）
当x＜0时，3^x＜2^x＜1，f（3^x）＞f（2^x）
综上可得，f（3^x）≥f（2^x）
故选：C．

点评：本题主要考查了结合二次函数的性质（若f（a+x）=f（a-x）则函数关于x=a对称）的对称性，单调性及指数函数的性质的应用，属于综合性试题．