Question

15．已知圆O：x²+y²=r²，直线$x+2\sqrt{2}y+2=0$与圆O相切，且直线l：y=kx+m与椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$相交于P、Q两点，O为原点．
（1）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；
（2）如图，若△POQ的重心恰好在圆上，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线与圆相切可求得圆的半径，由∠AOB=60°可得圆心到直线的距离，由此可得直线斜率，即可求解直线方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由△＞0，得2k²+1＞m²…（※），
由△POQ重心（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$）恰好在圆${x^2}+{y^2}=\frac{4}{9}$上，得${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=4$，
化简得${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{4{k^2}+1}}$，代入（※）得k≠0，即${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{4{k^2}+1}}=1+\frac{{4{k^4}}}{{4{k^2}+1}}=1+\frac{4}{{\frac{4}{k^2}+\frac{1}{k^4}}}$
由k≠0，求出m的范围

解答 解：（1）因为直线$x+2\sqrt{2}y+2=0$与圆O：x²+y²=r²相切
∴$r=\frac{|0+0+2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（2\sqrt{2}）}^2}}}}=\frac{2}{3}$∴${x^2}+{y^2}=\frac{4}{9}$
因为左焦点坐标为F（-1，0），设直线l的方程为y=k（x+1）
由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离$d=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$

又$d=\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，∴$\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，解得，$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴直线l的方程为$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）$
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
由△＞0，得2k²+1＞m²…（※），
且${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$
由△POQ重心（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$）恰好在圆${x^2}+{y^2}=\frac{4}{9}$上，得${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=4$，
即${（{x_1}+{x_2}）^2}+{[k（{x_1}+{x_2}）+2m]^2}=4$，
即$（1+{k^2}）{（{x_1}+{x_2}）^2}+4km（{x_1}+{x_2}）+4{m^2}=4$．
∴$\frac{{16（1+{k^2}）{k^2}{m^2}}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}-\frac{{16{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+4{m^2}=4$，
化简得${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{4{k^2}+1}}$，代入（※）得k≠0
又${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{4{k^2}+1}}=1+\frac{{4{k^4}}}{{4{k^2}+1}}=1+\frac{4}{{\frac{4}{k^2}+\frac{1}{k^4}}}$
由k≠0，得$\frac{1}{k^2}＞0$，∴$\frac{4}{k^2}+\frac{1}{k^4}＞0$，
∴m²＞1，得m的取值范围为m＜-1或m＞1

点评 本题考查了椭圆 与直线的位置关系，方程思想、转化思想，运算能力，属于中档题．