Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，若方程f（x）=a在x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）
• B． [-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）
• C． [-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）
• D． [$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由函数f（x）的图象求出A，ω和φ的值，写出函数解析式；
在同一坐标系中画出函数f（x）和直线y=a的图象，结合图象求得实数a的取值范围．

解答 解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=$\sqrt{2}$，
根据$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，得T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2；
再根据五点法作图可得2×$\frac{π}{3}$+φ=π，∴φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
在同一坐标系中画出f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），其中x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
和直线y=a的图象，如图所示；
由图可知，当-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\sqrt{2}$时，直线y=a与曲线f（x）有两个不同的交点，方程有2个不同的实数根；
∴a的取值范围是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．
故选：B．

点评 本题主要考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，以及由函数的图象对应方程解的个数问题，是综合题．