Question

4．如图所示，四棱锥P-ABCD中，PC=AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，AB∥CD，AD⊥CD，PC⊥
面ABCD．
（1）求证：面PBC⊥面PAC；
（2）若M，N分别为PA，PB的中点，求三棱锥A-CMN的体积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AC⊥PC，由AC²+BC²=AB²，可求得AC⊥BC，从而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证得平面PAC⊥平面PBC；
（2）在三棱锥P-ABC中利用等积法求得C到平面PAB的距离，再求出三角形AMN的面积，进一步由等积法求得三棱锥A-CMN的体积．

解答 （1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=4，AD=CD=2，
∴AC=BC=$2\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面PAC，
∴平面PBC⊥平面PAC；
（2）解：由PC⊥CA，PC⊥CB，且PC=2，AC=BC=$2\sqrt{2}$，可得PA=PB=2$\sqrt{3}$，
又AB=4，∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}=4\sqrt{2}$．
设C到平面PAB的距离为h，由等积法可得：$\frac{1}{3}×4\sqrt{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×2$，得h=$\sqrt{2}$．
${S}_{△AMN}=\frac{1}{4}{S}_{△PAB}=\frac{1}{4}$×$4\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
∴${V}_{A-CMN}={V}_{C-AMN}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查点、线、面间的距离计算，突出几何体体积轮换公式的考查与应用，属于中档题．