Question

3．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E，F分别是CC₁，BC的中点，且AB=AA₁．
（Ⅰ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅱ）若AB=2，求点A₁到平面AEF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AF．证明AF⊥BC，AF⊥CC₁，然后证明AF⊥平面BB₁C₁C，推出AF⊥B₁F．设AB=AA₁=1，证明B₁F⊥EF．即可在，证明B₁F⊥平面AEF．
（Ⅱ）取AC中点D，连接DF，利用${V_{A-{A_1}EF}}=\frac{1}{3}{S_{△A{A_1}E}}•h={V_{F-A{A_1}E}}$，求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：连接AF．
∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，所以AF⊥BC
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥CC₁，AF?平面ABC，AF⊥CC₁，
又∵CC₁∩BC=C，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
∵B₁F?平面BB₁C₁C，∴AF⊥B₁F．
设AB=AA₁=1，则${B_1}F=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${B_1}E=\frac{3}{2}$，
∴${B_1}{F^2}+E{F^2}={B_1}{E^2}$，∴B₁F⊥EF．
又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF．
（Ⅱ）解：取AC中点D，连接DF，则DF∥AB，∴DF⊥AC，CC₁⊥平面ABC，DF?平面ABC，DF⊥CC₁，
又∵CC₁∩AC=C，∴DF⊥平面A₁ACC₁，${S_{△A{A_1}E}}=\frac{1}{2}A{A_1}•AC=2$，${V_{F-A{A_1}E}}=\frac{1}{3}{S_{△A{A_1}E}}•DF=\frac{2}{3}$，${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}AF•EF=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，${V_{A-{A_1}EF}}=\frac{1}{3}{S_{△A{A_1}E}}•h={V_{F-A{A_1}E}}$，解得$h=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．