Question

6．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁与底面垂直，∠ACB=90°，AC=BC，AA₁=AB=2，E，F分别是A₁C，AB₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面ABC
（Ⅱ）求三棱锥E-B₁FC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结A₁B，与AB₁的交点即为F，推导出EF∥BC，由此能证明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）三棱锥E-B₁FC的体积${V}_{E-{B}_{1}FC}$=$\frac{1}{2}$${V}_{E-{B}_{1}AC}$=$\frac{1}{2}{V}_{{B}_{1}-AEC}$，由此能求出三棱锥E-B₁FC体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结A₁B，与AB₁的交点即为F，
∵E、F分别是A₁C、A₁B的中点，
∴EF∥BC，
又EF?平面ABC，BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵三棱锥E-B₁FC的体积：
${V}_{E-{B}_{1}FC}$=$\frac{1}{2}$${V}_{E-{B}_{1}AC}$=$\frac{1}{2}{V}_{{B}_{1}-AEC}$，
∵∠ACB=90°，AA₁=AB=2，
∴$AC=BC=\sqrt{2}$，
又BC⊥AC，BC⊥CE，∴BC⊥平面AEC，
∴${V}_{E-{B}_{1}FC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1）×\sqrt{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴三棱锥E-B₁FC体积为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．