Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，点B满足

BF1

=

F1F2

且

AB

•

AF2

=0．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）P是过A、B、F₂三的圆上的点，若△AF₁F₂的面积为

3

，求P到直线l：x-

3

y-3=0距离的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b），

AF2

⊥

AB

，得x0=-

b2

c

，由此能示出椭圆离心率．
（Ⅱ）由

e= c a = 1 2 1 2 •2c•b= 3 a2=b2+c2

，得a=2，b=

3

，由此求出△ABF的外接圆圆心为F₁（-1，0），半径r=2，F₁（-1，0）到直线l的距离为d=2，由此能求出P到直线l：x-

3

y-3=0距离的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b），
得

AF2

=（c，-b），

AB

=（x₀，-b），
∵

AF2

⊥

AB

，∴cx₀+b²=0，x0=-

b2

c

，
∵

BF1

=

F1F2

，即F₁为BF₂中点，∴-

b2

c

+c=-2c，
∴b²=3c²=a²-c²，
∴椭圆离心率e=

1

2

．
（Ⅱ）由

e= c a = 1 2 1 2 •2c•b= 3 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴△ABF的外接圆圆心为F₁（-1，0），半径r=2，
∵F₁（-1，0）到直线l的距离为d=

|-1-0-3|

1+3

=2，
∴P到直线l：x-

3

y-3=0距离的最大值为d+r=4．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．