Question

已知函数f(x)=

a+lnx

x

在x=1处取得最大值，g（x）=（x+1）f（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）如果当x≥1时，判断函数g（x）的单调性，并求出函数g（x）的最值；
（Ⅲ）求证：[（n+1）!]²＞e^n-2（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数取得极值和最值的条件，建立方程关系即可，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可判断函数g（x）的单调性，并求出函数g（x）的最值；
（Ⅲ）根据函数的单调性，结合导数，利用放缩法即可证明[（n+1）!]²＞e^n-2（n∈N^*）．

解答： 解：（I）由题意得：f′(x)=

1-a-lnx

x2

；令1-a-lnx=0，即x=e^1-a；
∴当x∈（0，e^1-a），f′（x）＞0；x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0；
∴函数f（x）在x=e^1-a处有极大值；
∴e^1-a=1⇒a=1；函数f（x）解析式f(x)=

1+lnx

x

，
（II）由（I）得g(x)=

(1+x)(1+lnx)

x

；x∈[1，+∞)，
∴g′(x)=

x2-lnx+1

x2

，令h（x）=x²-lnx+1
发现当x∈[1，+∞）时，h（x）＞0；
∴函数g（x）x∈[1，+∞）在单调递增；
故存在最小值为：g（1）_min=2．
（III）由（II）得g(x)＞

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，
∴ln(1×2)＞1-

2

1×2

，ln(3×4)＞1-

2

3×4

ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

；
叠加可得：ln[1×22×32×n2×(n+1)]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+

1

n(n+1)

]
=n-2(1-

1

n+1

)＞n-2+

1

n+1

＞n-2（不等式性质传递性）
则1×2²×3²×n²×（n+1）²＞e^n-2．
故[（n+1）!]²＞（n+1）×e^n-2（n∈N^*）．

点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，利用函数单调性和极值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．