Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C对边的长，且满足

cosB-b

cosC+2a+c

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的值．
（2）若b=7，a+c=8，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式去分母变形后，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将b，cosB的值代入并利用完全平方公式变形，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）由已知得：2acosB+ccosB-2ab-bc=-bcosC-2ab-bc，
∴2acosB+ccosB+bcosC=0，
由正弦定理得，2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
整理得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，即2sinAcosB+sinA=0，
∵sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，
又0＜B＜180°，
∴B=120°；
（2）在△ABC中，b=7，a+c=8，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得，7²=a²+c²+ac，
∴49=（a+c）²-ac，即49=8²-ac，
∴ac=15，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×15×sin120°=

15 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．