Question

若函数f（x）=

1+cos2x

4sin( π 2 +x)

-asin

x

2

cos（π-

x

2

）的最大值为1，试确定常数a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用二倍角的正弦、余弦公式，以及两角和的正弦公式，化简函数解析式化为

f(x)= 1 4 + a2 4 sin(x+φ)

，然后直接求出最大值，列出方程求出a的值．

解答： 解：由题意得，

f(x)= 2cos2x 4cosx +asin x 2 cos x 2 = 1 2 cosx+ a 2 sinx= 1 4 + a2 4 sin(x+φ)

其中角φ满足

sinφ= 1 1+a2

，
∵函数f（x）的最大值为1，
∴

1 4 + a2 4

=1，解得a=±

3

，
则常数a的值±

3

．

点评：本题考查正弦函数的最值，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦公式，以及两角和与差的正弦公式，其中灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键．