Question

已知函数f（x）=

ex

ax2+x+1

，其中a∈R
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的定义域和极值；
（Ⅱ）当a=1时，试确定函数g（x）=f（x）-1的零点个数，并证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的定义域及其求法

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由分母不为0，求出函数的定义域，利用导数的正负性，求出函数的单调区间，从而求出极值；
（Ⅱ）利用导数求出函数的单调区间，知函数是先增后减再增的，又极大值为0，极小值小于0，从而判断函数有两面个零点．

解答： （Ⅰ）解：当a=0时，函数f（x）=

ex

x+1

的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），
f′（x）=

ex(x+1)-ex

(x+1)2

=

xex

(x+1)2

，
令f′（x）=0，得x=0，
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	（-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	1	↗

故f（x）的单调减区间为（-∞，-1），（-1，0）；单调增区间为（0，+∞）．
所以当x=0时，函数f（x）有极小值f（0）=1．

（Ⅱ）解：结论：函数g（x）存在两个零点．
证明过程如下：
由题意，函数g（x）=

ex

x2+x+1

-1，
∵x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0，
所以函数g（x）的定义域为R．
求导，得g′（x）=

ex(x2+x+1)-ex(2x+1)

(x2+x+1)2

=

exx(x-1)

(x2+x+1)2

，
令g′（x）=0，得x₁=0，x₂=1，
当x变化时，g（x）和g′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g2（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗		↘		↗

故函数g（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（-∞，0），（1，+∞）．
当x=0时，函数g（x）有极大值g（0）=0；当x=1时，函数g（x）有极小值g（1）=

e

3

-1．
∵函数g（x）在（-∞，0）单调递增，且g（0）=0，
∴对于任意x∈（-∞，0），g（x）≠0．
∵函数g（x）在（0，1）单调递减，且g（0）=0，
∴对于任意x∈（0，1），g（x）≠0．
∵函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，且g（1）=

e

3

-1＜0，g（2）=

e2

7

-1＞0，
∴函数g（x）在（1，+∞）上仅存在一个x₀，使得函数g（x₀）=0，
故函数g（x）存在两个零点（即0和x₀）．

点评：本题考查了函数的定义域，求极值，利用函数的单调性和极值判断函数零点的个数问题．属于中档题．