Question

已知点M（-1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足|PM|+|PN|=2

3

，
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点N（1，0）的直线l与曲线C相交于A，B两点，并且曲线C上存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由|PM|+|PN|=2

3

，知曲线C是以M，N为焦点的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知l的斜率一定不为0，设l：x=my+1，代入椭圆方程整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，假设存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，其充要条件为

OQ

=

OA

+

OB

，则点Q的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）由|PM|+|PN|=2

3

，
知曲线C是以M，N为焦点的椭圆，
且a=

3

，c=1，b=

2

．
所以曲线C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知l的斜率一定不为0，
故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，…（5分）
显然△＞0，则y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1y2=-

4

2m2+3

，…（6分）
假设存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，
其充要条件为

OQ

=

OA

+

OB

，则点Q的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
由点Q在椭圆上，即

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1，
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y₁y₂=6．…（8分）
又c又A，B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，
故2x₁x₂+3y₁y₂=-3，②…（9分）
所以x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m（y₁+y₂）+1，
将①②代入上式解得m=±

2

2

…（11分）
即直线l的方程是：x=±

2

2

y+1，即2x±

2

y-2=0．…（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．