Question

16．设F是双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点，M在双曲线的右支上，且MF的中点恰为该双曲线的虚轴的一个端点，则C的渐近线方程为（　　）

• A． $y=±\frac{1}{2}x$
• B． y=±2x
• C． $y=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}x$
• D． $y=±\sqrt{5}x$

Answer 1

分析 设F（-c，0），M（m，n），（m＞0），设MF的中点为（0，b），即有m=c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，求出a与b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．

解答 解：设F（-c，0），M（m，n），（m＞0），
设MF的中点为（0，b），
即有m=c，n=2b，
将点（c，2b）代入双曲线方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{b}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴c²=5a²，
又c²=a²+b²，
即有4a²=b²，
∴$\frac{b}{a}$=2，
∴双曲线C的渐近线方程为y=±2x，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．