Question

6．已知a=$\frac{2}{π}$${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4x-{x}^{2}}$dx，实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$，则z=x²+y²+ay的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{25}{4}$，8]
• B． [$\frac{31}{5}$，$\frac{212}{9}$]
• C． [8，$\frac{212}{9}$]
• D． [$\frac{31}{5}$，8]

Answer 1

分析 通过定积分求出a，根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．

解答 解：a=$\frac{2}{π}$${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4x-{x}^{2}}$dx=$\frac{2}{π}×\frac{1}{4}×π×{2}^{2}$=2，
实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$的可行域如图所示，由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），若目标函数z=x²+y²+2y的几何意义是可行域内的点到点（0，-1）距离的平方减1．由图形可知仅在点A（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），取得最大值，z=（$\frac{10}{3}$）²+（$\frac{8}{3}$）²+2×$\frac{8}{3}$=$\frac{212}{9}$．
由图知，原点到直线x+2y-4=0的距离最小，d=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
可得z=x²+y²+2y=d²-1=$\frac{31}{5}$．
则z=x²+y²+2y取值范围为[$\frac{31}{5}$，$\frac{212}{9}$]，
故选：B．

点评 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．判断几何意义，最后比较，即可得到目标函数的最优解．