Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AA₁=2$\sqrt{2}$，A₁C=CA=AB=2．
（1）若D是AA₁的中点，求证：CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）若E是侧棱BB₁上的点，且$\sqrt{3}$EB₁=BB₁，求二面角E-A₁C₁-A的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得AB⊥面ACC₁A₁，从而AB⊥CD，又CD⊥AA₁，由此能证明CD⊥面ABB₁A₁．
（2）以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA₁为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出二面角E-A₁C₁-A的大小为．

解答 （1）证明：∵面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，
∴AB⊥面ACC₁A₁，即AB⊥CD；
又AC=A₁C，D为AA₁中点，∴CD⊥AA₁，
且AA₁∩AB=A
∴CD⊥面ABB₁A₁．（6分）
（2）解：如图所示，以点C为坐标系原点，CA为x轴，
过C点平行于AB的直线为y轴，CA₁为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
则有A（2，0，0），B（2，2，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-2，0，2），
则$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=（-2，0，0）$，$\overrightarrow{{A}_{1}E}=\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，2，0）+$\frac{\sqrt{3}}{3}（2，0，-2）$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}，2，-\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
设面A₁C₁E的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2y-\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（0，1，\sqrt{3}）$
由条件得面A₁C₁A的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$．
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2×1}=\frac{1}{2}$
∵二面角E-A₁C₁-A为锐角，∴二面角E-A₁C₁-A的大小为$\frac{π}{3}$…12分

点评 题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法及应用，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．属于中档题．