Question

11．已知椭圆C：4x²+y²=4m²（m＞0），过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，点P是椭圆上的任意一点且直线PA，PB与坐标轴不平行．
（1）证明：直线PA的斜率与直线PB斜率之积为定值；
（2）若A，B不是椭圆C的顶点，且PA⊥AB，直线BP与x轴，y轴分别交于E，F两点．
（i）证明：直线BP的斜率与直线AF斜率之比为定值；
（ii）记△OEF的面积为S_△OEF，求$\frac{{{S_{△OEF}}}}{m^2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），把A，P坐标代入椭圆方程，写出PA，PB的斜率，化简整理可得直线PA的斜率与直线PB斜率之积为定值；
（2）（i）由（1）得${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，再由PA⊥AB，求得PA的斜率，进一步得到PB的斜率，写出PB所在直线方程，求得E，F的坐标，即可得到直线BP的斜率与直线AF斜率之比为定值；
（ii）由三角形面积公式写出△OEF的面积，由基本不等式可得其最大值，除以m²得答案．

解答 （1）证明：设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
∴$4{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=4{m}^{2}$，$4{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=4{m}^{2}$，
∴${k}_{PA}•{k}_{PB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{（4{m}^{2}-4{{x}_{2}}^{2}）-（4{m}^{2}-4{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-4；
（2）证明：（i）由（1）得${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，
又∵PA⊥AB，∴k_AB•k_PA=-1，得${k_{PA}}=-\frac{x_1}{y_1}$，
∵k_PA•k_PB=-4，∴${k_{PB}}=\frac{{4{y_1}}}{x_1}$．
∴直线BP：$y=\frac{{4{y_1}}}{x_1}（x+{x_1}）-{y_1}$，则$E（{-\frac{3}{4}{x_1}，\;\;0}）$，F（0，3y₁），
则${k_{AF}}=\frac{{{y_1}-3{y_1}}}{{{x_1}-0}}=-2\frac{y_1}{x_1}$，
∴$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{AF}}=\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{-2{y}_{1}}{{x}_{1}}=-2$．
（ii）解：∵${S_{△OEF}}=\frac{1}{2}|{（{-\frac{3}{4}{x_1}}）•3{y_1}}|=\frac{9}{8}|{x_1}•{y_1}|=\frac{9}{16}|2{x_1}•{y_1}|≤\frac{9}{16}•\frac{4x_1^2+y_1^2}{2}=\frac{9}{8}{m^2}$，
∴$\frac{{{S_{△OEF}}}}{m^2}≤\frac{9}{8}$，
当且仅当$x_1^2=\frac{m^2}{2}，\;\;y_1^2=2{m^2}$时取到最大值．
即$\frac{{{S_{△OEF}}}}{m^2}$的最大值为$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．